Question

【題目】動手操作，探究：
探究一：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？
已知：如圖（1），在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數量關系．
探究二：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？
已知：如圖（2），在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結論探究∠P與∠A+∠B的數量關系．（寫出說理過程）
探究三：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF（圖（3））呢？請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數量關系.

Answer 1

【答案】解：探究一：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，
=180°﹣（∠ADC+∠ACD），
=180°﹣（180°﹣∠A），
=90°+∠A；
探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，
=180°﹣（∠ADC+∠BCD），
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），
=（∠A+∠B）；
探究三：六邊形ABCDEF的內角和為：（6﹣2）180°=720°，
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD，
=180°﹣（∠EDC+∠ACD），
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
【解析】探究一：根據角平分線的定義可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根據三角形內角和定理列式整理即可得解；
探究二：根據四邊形的內角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究三：根據六邊形的內角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究解答即可．