Question

（2006•重慶）已知：m、n是方程x²-6x+5=0的兩個實數根，且m＜n，拋物線y=-x²+bx+c的圖象經過點A（m，0）、B（0，n）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過解方程即可求出m、n的值，那么A、B兩點的坐標就可求出．然后根據A、B兩點的坐標即可求出拋物線的解析式．
（2）根據（1）得出的拋物線的解析式即可求出C、D兩點的坐標．
由于△BCD的面積無法直接求出，可用其他圖形的面積的“和，差關系”來求出．過D作DM⊥x軸于M，那么△BCD的面積=梯形DMOB的面積+△DCM的面積-△BOC的面積．由此可求出△BCD的面積．
（3）由于△PCH被直線BC分成的兩個小三角形等高，因此面積比就等于底邊的比．如果設PH與BC的交點為E，那么EH就是拋物線與直線BC的函數值的差，而EP就是E點的縱坐標．然后可根據直線BC的解析式設出E點的坐標，然后表示出EH，EP的長．進而可分兩種情況進行討論：①當EH=EP時；②當EH=EP時．由此可得出兩個不同的關于E點橫坐標的方程即可求出E點的坐標．也就求出了P點的坐標．
解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以點A、B的坐標分別為A（1，0），B（0，5）．
將A（1，0），B（0，5）的坐標分別代入y=-x²+bx+c．
得
解這個方程組，得
所以，拋物線的解析式為y=-x²-4x+5

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0
解這個方程，得x₁=-5，x₂=1
所以C點的坐標為（-5，0）．由頂點坐標公式計算，得點D（-2，9）．
過D作x軸的垂線交x軸于M．
則S_△DMC=×9×（5-2）=
S_梯形MDBO=×2×（9+5）=14，
S_△BOC=×5×5=
所以，S_△BCD=S_梯形MDBO+S_△DMC-S_△BOC=14+-=15．
答：點C、D的坐標和△BCD的面積分別是：（-5，0）、（-2，9）、15；
（3）設P點的坐標為（a，0）
因為線段BC過B、C兩點，
所以BC所在的直線方程為y=x+5．
那么，PH與直線BC的交點坐標為E（a，a+5），
PH與拋物線y=-x²-4x+5的交點坐標為H（a，-a²-4a+5）．
由題意，得①EH=EP，
即（-a²-4a+5）-（a+5）=（a+5）
解這個方程，得a=-或a=-5（舍去）
②EH=EP，即（-a²-4a+5）-（a+5）=（a+5）
解這個方程，得a=-或a=-5（舍去），
P點的坐標為（-，0）或（-，0）．
點評：命題立意：考查一元二次方程的解法，二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．
點評：（1）函數圖象交點坐標為兩函數解析式組成的方程組的解．
（2）不規則圖形的面積通常轉化為規則圖形的面積的和差．