Question

【題目】邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，若其兩直角邊邊長(zhǎng)是方程x2-(k+2)x+4k=0的兩根，求k的值，并確定直角三角形三邊之長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】解：設(shè)直角邊為a，b（a<b），則a+b=k+2，ab=4k，因?yàn)榉匠痰母鶠檎麛?shù)，故△=（k+2）2-16k為完全平方數(shù)。
設(shè)(k+2)2-16k=n2 ∴k2-12k+4=n2 ∴(k-6)2-n2=32
∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8
∵k+n-6>k-n-6 ∴
解得 ，k2=15,k3=12
當(dāng)k2=15時(shí)，a+b=17,ab=60 ∴a=15 ， b=12 ， c=13；當(dāng)k=12時(shí)，a+b=14,ab=48
∴a=6 ， b=8 ，c=10
【解析】根據(jù)方程的根為整數(shù)，得到根的判別式為平方數(shù)，然后進(jìn)行討論求出k值，得到三角形三邊的長(zhǎng)．根據(jù)直角三角形的直角邊是整數(shù)，得到方程的根是整數(shù)，所以判別式是平方數(shù)，討論求出k的值．然后求出直角三角形三邊的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】利用公式法和求根公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知要用公式解方程，首先化成一般式．調(diào)整系數(shù)隨其后，使其成為最簡(jiǎn)比．確定參數(shù)abc，計(jì)算方程判別式．判別式值與零比，有無實(shí)根便得知．有實(shí)根可套公式，沒有實(shí)根要告之；根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．