Question

如圖1，點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，連接CN、DM．
（1）判斷CN、DM的數量關系與位置關系，并說明理由；
（2）如圖2，設CN、DM的交點為H，連接BH，求證：△BCH是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的四條邊都相等可得AD=DC，根據中點定義可得AM=DN，然后利用“邊角邊”證明△AMD和△DNC全等，根據全等三角形對應邊相等可得CN=DM，全等三角形對應角相等可得∠CND=∠AMD，然后推出∠CND+∠NDM=90°，從而得到CN⊥DM；
（2）延長DM、CB交于點P，然后利用“角角邊”證明△AMD和△BMP全等，根據全等三角形對應角相等以及正方形的四條邊都相等可得BP=AD=BC，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BH=BC，從而得證．

解答：證明：（1）CN=DM，CN⊥DM．
理由如下：∵點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，
∴AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN=90°，
在△AMD和△DNC中，

AM=DN ∠A=∠CDN=90° AD=DC

，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM，∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；

（2）如圖，延長DM、CB交于點P，
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
在△AMD和△BMP中，

∠MPC=∠MDA ∠A=∠MBP MA=MB

，
∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC，
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
即△BCH是等腰三角形．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的判定，比較簡單，熟記正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，找出三角形全等的條件是解題的關鍵．