Question

【題目】△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α（0°＜α≤90°），點F，G，P分別是DE，BC，CD的中點，連接PF，PG．

（1）如圖①，α=90°，點D在AB上，則∠FPG= °；

（2）如圖②，α=60°，點D不在AB上，判斷∠FPG的度數，并證明你的結論；

（3）連接FG，若AB=5，AD=2，固定△ABC，將△ADE繞點A旋轉，則PF長度的最大值為 ；PF長度的最小值為 ；

第27題

Answer 1

【答案】（1）∠GPF=90°；（2））∠FPG=120°，理由詳見解析；（3）；

【解析】

（1）由AB=AC、AD=AE，得出BD=CE，再根據G、P、F分別是BC、CD、DE的重點，可以得出PG∥BD,PF∥CE.則∠GPF=180°-∠α=90°

(2)連接BD、CE,由已知可以證明△ABD≌△ACE,則∠ABD=∠ACE,因為G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，則PG∥BD,PF∥CE,進而得出∠GPF=180°-∠α=120°.

（3）當D在BA的延長線上時，CE=BD最長，此時BD=AB+AD=7;

（1）∵AB=AC、AD=AE，

∴BD=CE，

∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，

∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，

∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-∠α=90°，

即∠GPF=90°；

（2）∠FPG=120°；理由如下：

連接BD，連接CE．如圖②

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，

∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，

∴∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α=120°，

即∠GPF=120°；

（3）；