Question

如果方程（x-1）（x²-2x+m）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是

3

4

＜m≤1

．

Answer 1

分析：方程（x-1）（x²-2x+m）=0的三根是一個三角形三邊的長，則方程有一根是1，即方程的一邊是1，另兩邊是方程x²-2x+m=0的兩個根，根據在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．則方程x²-2x+m=0的兩個根設是x₂和x₃，一定是兩個正數，且一定有|x₂-x₃|＜1＜x₂+x₃，結合根與系數的關系，以及根的判別式即可確定m的范圍．

解答：解：∵方程（x-1）（x²-2x+m）=0的有三根，
∴x₁=1，x²-2x+m=0有根，方程x²-2x+m=0的△=4-4m≥0，得m≤1．
又∵原方程有三根，且為三角形的三邊和長．
∴有x₂+x₃＞x₁=1，|x₂-x₃|＜x₁=1，而x₂+x₃=2＞1已成立；
當|x₂-x₃|＜1時，兩邊平方得：（x₂+x₃）²-4x₂x₃＜1．
即：4-4m＜1．解得，m＞

3

4

．
∴

3

4

＜m≤1．
故答案為：

3

4

＜m≤1．

點評：本題利用了：①一元二次方程的根與系數的關系，②根的判別式與根情況的關系判斷，③三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．