Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x，y軸上，點D在第一象限內，DC⊥x軸于點C，AO=CD=2，AB=DA=$\sqrt{5}$，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象過CD的中點E．
（1）求k的值；
（2）△BFG和△DCA關于某點成中心對稱，其中點F在y軸上，試判斷點G是否在反比例函數的圖象上，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理計算出AC=1，再確定C點坐標，然后根據點E為CD的中點可得到點E的坐標為（3，1），則可根據反比例函數圖象上點的坐標特征求得k=3；
（2）根據中心對稱的性質得△BFG≌△DCA，所以FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，則可得到G點坐標為（1，3），然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征判斷G點是否在函數y=$\frac{3}{x}$的圖象上．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，CD=2，AD=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=1，
∴OC=OA+AC=2+1=3，
∴D點坐標為（3，2），
∵點E為CD的中點，
∴點E的坐標為（3，1），
∴k=3×1=3；

（2）點G在反比例函數的圖象上．理由如下：
∵△BFG和△DCA關于某點成中心對稱，
∴△BFG≌△DCA，
∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，
而OB=AC=1，
∴OF=OB+BF=1+2=3，
∴G點坐標為（1，3），
∵1×3=3，
∴G（1，3）在反比例函數y=$\frac{3}{x}$的圖象上．

點評 本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、中心對稱的性質和三角形全等的判定與性質；會利用勾股定理進行幾何計算．