Question

【題目】在四邊形OABC中，AB∥OC，∠OAB＝90°， ∠OCB＝60°，AB＝2，OA＝2.

(1)如圖①，連接OB，請直接寫出OB的長度；

(2)如圖②，過點O作OH⊥BC于點H.動點P從點H出發，沿線段HO向點O運動，動點Q從點O出發，沿線段OA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，設點P運動的時間為t秒，△OPQ的面積為S(平方單位)．

①求S與t之間的函數關系式；

②設PQ與OB交于點M，當△OPM為等腰三角形時，試求出△OPQ的面積S的值．

Answer 1

【答案】（1）4（2）；①S＝－t2＋t(0<t<2)； ②或2.

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理即可得；

（2）①首先表示出線段PO，作PE⊥OA于點E，利用銳角三角函數表示出線段PE的長，然后利用三角形的面積計算方法得到有關S于t的函數關系式即可；

②分情況討論即可得.

試題解析：(1)∵∠OAB=90°，∴OB=；

(2)①∵AB＝2，OB＝4，∠OAB＝90°，∴∠ABO＝60°，又∵∠OCB＝60°，

∴△BOC為等邊三角形，∴OH＝OBcos30°＝4×＝2，

∴OP＝OH－PH＝2－t，

如圖①，過P點作PE⊥OA，垂足為點E，

圖①

則EP＝OPcos30°＝3－t，

∴S＝·OQ·EP＝·t·(3－t)＝－t2＋t(0<t<2)；

②若△OPM為等腰三角形：

(ⅰ)若OM＝PM，如圖②，則∠MPO＝∠MOP＝∠POC，

圖②

∴PQ∥OC，過點P作PK⊥OC于點K，

∴OQ＝PK＝，即t＝－，解得t＝，

此時S＝－×()2＋×＝；

(ⅱ)若OP＝OM，如圖③，則∠OPM＝∠OMP＝75°，

圖③

∴∠OQP＝∠OMP－∠QOM＝75°－30°＝45°，此時EQ＝EP，即t－(－)＝3－t，

解得t＝2，

此時S＝－×22＋×2＝3－；

(ⅲ)若OP＝PM，∠POM＝∠PMO＝∠AOB，

則PQ∥OA，此時點Q在AB上，不滿足題意，舍去，

綜上所述，當△OPM為等腰三角形時，△OPM的面積為或2.