Question

已知直線I與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥I于點D．
（Ⅰ）如圖①，當直線I與⊙O相切于點C時，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如圖②，當直線I與⊙O相交于點E、F時，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）如圖①，首先連接OC，根據當直線l與⊙O相切于點C，AD⊥l于點D．易證得OC∥AD，繼而可求得∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如圖②，連接BF，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性質，可求得∠AEF的度數，又由圓的內接四邊形的性質，求得∠B的度數，繼而求得答案．
解答：解：（Ⅰ）如圖①，連接OC，
∵直線l與⊙O相切于點C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠DAC=30°；

（Ⅱ）如圖②，連接BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°-∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，
在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內接四邊形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠B=180°-108°=72°，
∴∠BAF=90°-∠B=90°-72°=18°．
點評：此題考查了切線的性質、圓周角定理以及圓的內接四邊形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．