Question

【題目】如圖，DE是△ABC的中位線，過點C作CF∥BD交DE的延長線于點F．
（1）求證：DE=EF．
（2）分別連結DC、AF，若AC=BC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE是△ABC的中位線，

∴E為AC中點，

∴AE=EC，

∵CF∥BD，

∴∠ADE=∠F，

在△ADE和△CFE中，

∵ ，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴DE=FE．

（2）解：四邊形ADCF是矩形．

理由：∵DE=FE，AE=AC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∴AD=CF，

∵AD=BD，

∴BD=CF，

∴四邊形DBCF為平行四邊形，

∴BC=DF，

∵AC=BC，

∴AC=DF，

∴平行四邊形ADCF是矩形．

【解析】（1）首先根據三角形的中位線定理得出AE=EC，然后根據CF∥BD得出∠ADE=∠F，繼而根據AAS證得△ADE≌△CFE，最后根據全等三角形的性質即可推出EF=DE；（2）首先證得四邊形ADCF是平行四邊形、四邊形DBCF也為平行四邊形，從而得到BC=DF，然后根據AC=BC得到AC=DF，從而得到四邊形ADCF是矩形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形中位線定理的相關知識，掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．