Question

【題目】（10分）如圖①，在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD為∠BAC的角平分線，

求證：AB=AC+CD

小明同學經過思考，得到如下解題思路：

在AB上截取AE=AC，連接DE，得到△ADE≌△ADC，從而易證AB=AC+CD

（1）請你根據以上解思路寫出證明過程；

（2）如圖②，若AD為△ABC的外角∠CAE平分線，交BC的延長線于點D，

∠D=25°，其他條件不變，求∠B的度數。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）50°

【解析】試題分析：先根據“SAS”證明△ADE≌△ADC,從而DE=DC, ∠AED=∠ACB,再由外角的性質可得∠B=∠BDE,從而BE=CD，然后利用等量代換證明結論；（2）利用外角的性質和角平分線的定義得到∠CAD= ，然后根據三角形內角和列方程求解.

解：（1）∵AD為∠BAC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD.

在△ADE和△ADC中，

∵AC=AE,

∠BAD=∠CAD,

AD=AD,

∴△ADE≌△ADC,

∴DE=DC, ∠AED=∠ACB,

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠AED=∠B+∠BDE,

∴∠B=∠BDE,

∴BE=DE,

∴BE=CD.

∵AB=AE+BE,

∴AB=AC+CD.

(2)∵AD為∠BAC的角平分線，

∴∠CAD= .

∵∠ACB=2∠B，

∴∠CAE=∠ACB+∠B=3∠B, ∠BAC=180°-3∠B,

∴∠CAD= .

∴ ,

解之得

∠B=50°.