Question

閱讀以下的材料：
如果兩個正數a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式：

a+b

2

≥

ab

當且僅當a=b時取到等號
我們把

a+b

2

叫做正數a，b的算術平均數，把

ab

叫做正數a，b的幾何平均數，于是上述不等式可表述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數．它在數學中有廣泛的應用，是解決最大（小）值問題的有力工具，下面舉一例子：
例：已知x＞0，求函數y=x+

4

x

的最小值．
解：另a=x，b=

4

x

，則有a+b≥2

ab

，得y=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當且僅當x=

4

x

時，即x=2時，函數有最小值，最小值為2．
根據上面回答下列問題
①已知x＞0，則當x=

 

時，函數y=2x+

3

x

取到最小值，最小值為

 

；
②用籬笆圍一個面積為100m²的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？
③已知x＞0，則自變量x取何值時，函數y=

x

x2-2x+9

取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析：根據閱讀材料可以得到兩個正數的算術平均數一定大于或等于幾何平均數．
（1）令a=2x，b=

3

x

，這兩個數都是正數，根據：

a+b

2

≥

ab

就可以直接得到結果．
（2）設這個矩形的長為x米，則寬=面積÷長，即寬=

100

x

米，則所用的籬笆總長為2倍的長+2倍的寬，本題就可以轉化為兩個負數的和的問題，從而根據：

a+b

2

≥

ab

求解．
（3）將原函數變為：

1

y

=

x2-2x+9

x

=x+

9

x

-2，則原函數的最大值，即為現在函數的最小值．

解答：解：①已知x＞0，得y=2x+

3

x

≥2

2x• 3 x

=

6

，當僅當2x=

3

x

時，即x=

6

2

時，函數y=2x+

3

x

取到最小值，最小值為2

6

；
則當x=

6

2

時，函數y=2x+

3

x

取到最小值，最小值為2

6

；
②設這個矩形的長為x米，則寬為

100

x

米，所用的籬笆總長為y米，
根據題意得：y=2x+

200

x

由上述性質知：
∵x＞0
∴2x+

200

x

≥40
此時，2x=

200

x

∴x=10
答：當這個矩形的長、寬各為10米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40米；
③令

1

y

=

x2-2x+9

x

=x+

9

x

-2≥4，
當且僅當x=

9

x

時，

1

y

取最小值為4，
∴當x=3時，y_最大=

1

4

．

點評：本題是閱讀型問題，解題的關鍵是讀懂題目中給出的已給信息，理解閱讀材料介紹的知識，主要培養自學能力．