Question

（2013•北京）閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積．
小明發現，分別延長QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）
請回答：
（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙不重疊），則這個新正方形的邊長為

a

；
（2）求正方形MNPQ的面積．
（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：
如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ．若S_△RPQ=

3

3

，則AD的長為

2

3

．

Answer 1

分析：（1）四個等腰直角三角形的斜邊長為a，其拼成的正方形面積為a²，邊長為a；
（2）如題圖2所示，正方形MNPQ的面積等于四個虛線小等腰直角三角形的面積之和，據此求出正方形MNPQ的面積；
（3）參照小明的解題思路，對問題做同樣的等積變換．如答圖1所示，三個等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面積和等于等邊三角形△ABC的面積，故陰影三角形△PQR的面積等于三個虛線等腰三角形的面積之和．據此列方程求出AD的長度．

解答：解：（1）四個等腰直角三角形的斜邊長為a，則斜邊上的高為

1

2

a，
每個等腰直角三角形的面積為：

1

2

a•

1

2

a=

1

4

a²，
則拼成的新正方形面積為：4×

1

4

a²=a²，即與原正方形ABCD面積相等，
∴這個新正方形的邊長為a；

（2）∵四個等腰直角三角形的面積和為a²，正方形ABCD的面積為a²，
∴S_{正方形MNPQ}=S_△ARE+S_△DWH+S_△GCT+S_△SBF=4S_△ARE=4×

1

2

×1²=2；

（3）如答圖1所示，分別延長RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延長線于點S，T，W．

由題意易得：△RSF，△QET，△PDW均為底角是30°的等腰三角形，其底邊長均等于△ABC的邊長．
不妨設等邊三角形邊長為a，則SF=AC=a．
如答圖2所示，過點R作RM⊥SF于點M，則MF=

1

2

SF=

1

2

a，

在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=

1

2

a×

3

3

=

3

6

a，
∴S_△RSF=

1

2

a•

3

6

a=

3

12

a²．
過點A作AN⊥SD于點N，設AD=AS=x，
則AN=AD•sin30°=

1

2

x，SD=2ND=2ADcos30°=

3

x，
∴S_△ADS=

1

2

SD•AN=

1

2

•

3

x•

1

2

x=

3

4

x²．
∵三個等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面積和=3S_△RSF=3×

3

12

a²=

3

4

a²，
∴S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS，
∴

3

3

=3×

3

4

x²，得x²=

4

9

，
解得x=

2

3

或x=-

2

3

（不合題意，舍去）
∴x=

2

3

，即AD的長為

2

3

．
故答案為：a；

2

3

．

點評：本題考查了幾何圖形的等積變換，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多個知識點，是一道好題．通過本題我們可以體會到，運用等積變換的數學思想，不僅簡化了幾何計算，而且形象直觀，易于理解，體現了數學的魅力．