Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等邊△ABC的頂點A，B的坐標分別為（0，0），（6，0），點D是x軸上的一個動點，連接CD，將△ACD繞點C逆時針旋轉60°得到△BCE，連接DE．

（1）點C的坐標為____，△CDE為____三角形；

（2）當點D在線段AB上運動時，四邊形CDBE的周長是否存在最小值？若存在，求出四邊形CDBE的周長最小值及此時點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當△BDE是直角三角形時，請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（3，3）；等邊；（2）存在，6+6，（3，0）；（3）（-6，0）或（12，0）．

【解析】

（1）作CH⊥AB于H，根據直角三角形的性質求出AH，根據勾股定理求出CH，得到點C的坐標，根據旋轉變換的性質、等邊三角形的判定定理得到△CDE為等邊三角形；
（2）證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，根據四邊形的周長公式、垂線段最短計算，求出四邊形CDBE的周長最小值、此時點D的坐標；
（3）分點的D在AB的延長線、在BA的延長線兩種情況，根據直角三角形的性質、等邊三角形的性質解答．

解：（1）如圖①，作CH⊥AB于H，

∵△ABC為等邊三角形，
∴CA=CB=AB=6，
∵CH⊥AB，
∴AH=HB=3，
由勾股定理得，CH= ，
∴點C的坐標為（3，3），
由旋轉的性質可知，CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
故答案為：（3，3）；等邊；
（2）存在，
理由如下：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACD+∠DCB=60°，
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠BCE+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE，

∴四邊形CDBE的周長=CD+DB+BE+CE=CD+DB+AD+CE=6+2CD，
當CD最小時，四邊形CDBE的周長存在最小值，
由垂線段最短可知，CD⊥AB時，CD最小，CD的最小值為3，
∴四邊形CDBE的周長最小值為6+6，此時點D的坐標為（3，0）；
（3）由（2）可知，△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，
∴∠DBE=120°或60°，不能為90°，
如圖②，∠DEB=90°時，∠DBE=60°，
∴∠BDE=30°，
∴DB=2BE，
∵BE=AD，

∴AD=AB=6，此時，點D的坐標為（-6，0），
如圖③，當∠BDE=90°時，∠ADC=90°-60°=30°，
∵∠CAD=60°，
∴∠ACD=90°，又∠ADC=30°，
∴AD=2AC=12，此時，點D的坐標為（12，0），
綜上所述，當△BDE是直角三角形時，點D的坐標為（-6，0）或（12，0）．