Question

已知關于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．

（1）求證：無論k取任何實數時，方程總有實數根；

（2）當拋物線y=kx²+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數時，若P（a，y₁），Q（1，y₂）是此拋物線上的兩點，且y₁＞y₂，請結合函數圖象確定實數a的取值范圍；

（3）已知拋物線y=kx²+（2k+1）x+2恒過定點，求出定點坐標．

Answer 1

（1）證明：①當k=0時，方程為x+2=0，所以x=﹣2，方程有實數根，

②當k≠0時，∵△=（2k+1）²﹣4k×2=（2k﹣1）²≥0，即△≥0，

∴無論k取任何實數時，方程總有實數根；

（2）解：令y=0，則kx²+（2k+1）x+2=0，

解關于x的一元二次方程，得x₁=﹣2，x₂=﹣，

∵二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數，

∴k=1．

∴該拋物線解析式為y=x²+3x+2，

．

由圖象得到：當y₁＞y₂時，a＞1或a＜﹣3．

（3）依題意得kx²+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x²+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

則，

解得或．

所以該拋物線恒過定點（0，2）、（﹣2，0）．