Question

【題目】定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BCAB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．
（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；
（2）求出線段AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于點D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CDAC，
∴AD2=CDAC，
∴點D是線段AC的黃金分割點；
（2）設AD=x，則CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CDAC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=-，
即AD的長為．
【解析】（1）利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，則可得到AD=BD=BC，然后根據相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CDAC，于是有AD2=CDAC，則可根據線段黃金分割點的定義得到結論；
（2）設AD=x，則CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的結論得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的長．
【考點精析】關于本題考查的黃金分割，需要了解把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=0.618AB才能得出正確答案．