Question

如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經過圓心O，交⊙O于C、D兩點，直徑AB⊥CD，點M是直線CD上異于點C、O、D的一個動點，AM所在的直線交于⊙O于點N，點P是直線CD上另一點，且PM=PN．

（1）當點M在⊙O內部，如圖一，試判斷PN與⊙O的關系，并寫出證明過程；

（2）當點M在⊙O外部，如圖二，其它條件不變時，（1）的結論是否還成立？請說明理由；

（3）當點M在⊙O外部，如圖三，∠AMO=15°，求圖中陰影部分的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）PN與⊙O相切。

（2）成立。

（3）。

【解析】

分析：（1）根據切線的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA進而求出即可。

（2）根據已知得出∠PNM+∠ONA=90°，進而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案。

（3）首先根據外角的性質得出∠AON=30°，進而由，利用扇形面積和三角形面積公式得出即可。

解：（1）PN與⊙O相切。證明如下：

連接ON，則∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN。

∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO。

∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°。

∵ON是⊙O的半徑，∴PN與⊙O相切。

（2）成立。理由如下：

連接ON，則∠ONA=∠OAN。

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN。

在Rt△AOM中，∵∠OMA+∠OAM=90°，

∴∠PNM+∠ONA=90°。∴∠PNO=180°﹣90°=90°。

∵ON是⊙O的半徑，∴PN與⊙O相切。

（3）連接ON，由（2）可知∠ONP=90°，

∵∠AMO=15°，PM=PN，

∴∠PNM=15°，∠OPN=30°。

∴∠PON=60°，∠AON=30°。

作NE⊥OD，垂足為點E，

則NE=ON•sin60°。

∴  

。