Question

如圖，ABCD是面積為a²的任意四邊形，順次連接各邊中點得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連接A₁B₁C₁D₁各邊中點得到四邊形A₂B₂C₂D₂，重復同樣的方法直到得到四邊形A_nB_nC_nD_n，則四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為______．

Answer 1

連接AC，BD．
∵四邊形A₁B₁C₁D₁是順次連接各中點得到的，
∴

BA1

BA

=

BB1

BC

=

A1B1

AC

=

1

2

，
故△BB₁A_I∽△BCA，相似比為

1

2

，面積比為

1

4

，即S_△BB1AI=

1

4

S_△BCA，
同理可得S_△DD1C1=

1

4

S_△DAC，即S_△BB1AI+S_△DD1C1=

1

4

（S_△DAC+S_△BCA）=

1

4

S_{四邊形ABCD}，
同理可得S_△CC1B1+S_△AA1D1=

1

4

S_{四邊形ABCD}，故
S_△BB1AI+S_△DD1C1+S_△CC1B1+S_△AA1D1=

1

2

S_{四邊形ABCD}，
則S_{四邊形A1B1C1D1}=

1

2

S_{四邊形ABCD}=

a2

2

，
同理可得第二個小四邊形的面積為

1

2

×

a2

2

即

a2

22

．
第三個面積為

a2

23

，以此類推第n個四邊形的面積為

a2

2n

．