Question

【題目】如圖，直線y=kx+c與拋物線y=ax2+bx+c的圖像都經過y軸上的D點，拋物線與x軸交于A、B兩點，其對稱軸為直線x=1，且OA=OD．直線y=kx+c與x軸交于點C（點C在點B的右側）．則下列命題中正確命題的是（ ） ①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k．

A.①②③
B.②③⑤
C.②④⑤
D.②③④⑤

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵拋物線開口向上， ∴a＞0．
∵拋物線對稱軸是x=1，
∴b＜0且b=﹣2a．
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴c＞0．
∴①abc＞0錯誤；
∵b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a＞0，
∴②3a+b＞0正確；
∵b=﹣2a，
∴4a+2b+c=4a﹣4a+c=c＞0，
∴④4a+2b+c＜0錯誤；
∵直線y=kx+c經過一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴點A的坐標為（c，0）．
直線y=kx+c當x=c時，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞﹣1．
∴③﹣1＜k＜0正確；
∵直線y=kx+c與拋物線y=ax2+bx+c的圖像有兩個交點，
∴ax2+bx+c=kx+c，
得x1=0，x2= ．
由圖像知x2＞1，
∴ ＞1
∴k＞a+b，
∴⑤a+b＜k正確，
即正確命題的是②③⑤．
故選B．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解拋物線與坐標軸的交點的相關知識，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．