Question

【題目】如圖，△ABC的三條角平分線相交于點I，過點I作DI⊥IC，交AC于點D.

(1)如圖①，求證：∠AIB＝∠ADI；

(2)如圖②，延長BI，交外角∠ACE的平分線于點F.

①判斷DI與CF的位置關系，并說明理由；

②若∠BAC＝70°，求∠F的度數．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)解：①結論：DI∥CF，②35°.

【解析】（1）只要證明∠AIB=90°+∠ACB，∠ADI=90°+∠ACB即可；
（2）①只要證明∠IDC=∠DCF即可；
②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再證明∠F=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）即可解決問題；

(1)證明：∵AI，BI分別平分∠BAC，∠ABC，

∴∠BAI＝∠BAC，∠ABI＝∠ABC，

∴∠BAI＋∠ABI＝ (∠BAC＋∠ABC)＝ (180°－∠ACB)＝90°－∠ACB.

在△ABI中，∠AIB＝180°－(∠BAI＋∠ABI)＝180°－(90°－∠ACB)＝90°＋∠ACB.

∵CI平分∠ACB，∴∠DCI＝∠ACB.∵DI⊥IC，

∴∠DIC＝90°，∴∠ADI＝∠DIC＋∠DCI＝90°＋∠ACB.

∴∠AIB＝∠ADI.

(2)解：①結論：DI∥CF.

理由：∵∠IDC＝90°－∠DCI＝90°－∠ACB，CF平分∠ACE，

∴∠ACF=∠ACE＝ (180°－∠ACB)＝90°－∠ACB，∴∠IDC＝∠ACF，∴DI∥CF.

②∵∠ACE＝∠ABC＋∠BAC，∴∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°.

∵∠FCE＝∠FBC＋∠F，∴∠F＝∠FCE－∠FBC.

∵∠FCE＝∠ACE，∠FBC＝∠ABC，

∴∠F＝∠ACE－∠ABC＝ (∠ACE－∠ABC)＝35°.