Question

（2012•儀隴縣模擬）（1）已知關于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有兩個正整數根（m是整數），試求方程的解．
（2）甲乙兩人在玩轉盤游戲時，把轉盤A、B分別分成4等份、3等份，并在每一份內標上數字，如圖所示．游戲規定，轉動兩個轉盤停止后，指針必須指到某一數字，否則重轉．
（a）請用樹狀圖或列表法列出所有可能的結果；
（b）若指針所指的兩個數字都是（1）中方程的解時，則甲獲勝；若指針所指的兩個數字都不是（1）中方程的解時，則乙獲勝，問他們兩人誰獲勝的概率大？請分析說明．

Answer 1

分析：（1）由方程有兩個實數根，可得m²-1≠0，然后利用因式分解法解此方程，又由關于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有兩個正整數根（m是整數），即可求得m的值，繼而求得答案；
（2）（a）首先根據題意畫出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結果；
（b）由（a）中的表格，即可求得甲獲勝與乙獲勝的概率，繼而可求得答案．

解答：解：（1）∵方程有兩個實數根，
∴m²-1≠0，
∵（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0，
∴[（m+1）x-6][（m-1）x-3]=0，
解得：x₁=

6

m+1

，x₂=

3

m-1

，
∵關于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有兩個正整數根（m是整數），
∴

m+1=1，2，3，6 m-1=1，3

，
即

m=0，1，2，5 m=2，4

，
∴m=2，
∴原方程的解為：x₁=2，x₂=3；

（2）（a）列表得：

	1	2	3	4
2	1，2	2，2	3，2	4，2
3	1，3	2，3	3，3	4，3
4	1，4	2，4	3，4	4，4

則共有12種等可能的結果；

（b）乙獲勝的概率大．
理由：由（a）得：P（甲獲勝）=

1

6

，P（乙獲勝）=1-

1

6

=

5

6

，
故乙獲勝的概率大．

點評：此題考查了一元二次方程的解法以及列表法與樹狀圖法求概率．注意概率=所求情況數與總情況數之比；注意分類討論思想的應用．