Question

如圖1所示，已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠F=90°，∠B=∠E，EC=BD．
（1）試說明：△ABC≌△FED的理由；
（2）若圖形經過平移和旋轉后得到如圖2，若∠ADF=30°，∠E=37°，試求∠DHB的度數；
（3）若將△ABC繼續繞點D旋轉后得到圖3，此時D、B、F三點在同一條直線上，若DF：FB=3：2，連接EB，已知△ABD的周長是12，且AB-AD=1，你能求出四邊形ABED的面積嗎？若能，請求出來；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出BC=DE，根據AAS推出△ABC≌△FED即可；
（2）根據全等三角形的性質得出∠ADB=∠FDE=53°，∠B=∠E=37°，求出∠ADH=23°代入∠DHB=∠A+∠ADH求出即可；
（3）設AD的長為x，AB的長為y，則BD=

5

3

x，根據題意得出方程組

x+ 5 3 x+y=12 y-x=1

，求出x、y的值，得出AD=3，AB=4，BD=5，根據全等三角形性質得出EF=AB=4，根據三角形的面積公式求出△BDE和△ABD的面積即可．

解答：解：（1）理由是：∵BD=EC，
∴BD+CD=EC+CD，
∴BC=DE，
在△ABC和△FED中

∠A=∠F ∠B=∠E BC=DE

∴△ABC≌△FED（AAS）；

（2）∵△ABC≌△FED，
∴∠ADB=∠FDE=90°-37°=53°，∠B=∠E=37°，
∴∠ADH=53°-30°=23°
∴∠DHB=∠A+∠ADH=90°+23°=113°；

（3）設AD的長為x，AB的長為y，則BD=

5

3

x，
根據題意得：

x+ 5 3 x+y=12 y-x=1

，
解得：x=3，y=4，
即AD=3，AB=4，BD=5，
由（1）得：△ABD≌△FED，
∴EF=AB=4，
∴S_{四邊形ABED}=S_△BDE+S_△ABD=

1

2

×5×4+

1

2

×3×4=16．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的面積，解方程組等知識點的綜合運用．