Question

【題目】定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形。

（1）如圖1,將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60得到△DBE,∠DCB=30，連接AD，DC，CE

①求證：△BCE是等邊三角形；

②求證：四邊形ABCD是勾股四邊形。

（2）如圖2已知等邊ABC的邊長等于4平面上存在一點P若使四邊形PABC形成勾股四邊形且PC=2，PA,PC不能同時成為一組勾股邊，直接寫出此時PBC的面積。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）7.

【解析】

(1) ①由旋轉的性質可知△ABC≌△DBE，從而可得BC=BE，由∠CBE=60°可得△BCE為等邊三角形；②由①可得∠BCE=60°，從而可知△DCE是直角三角形，再利用勾股定理即可解決問題．

（2）根據題意可知BC和BA應組成勾股邊，由此計算出PB的平方的值，過點B做PC延長線上的垂線，垂足為D，設DC=x，在△PBD中根據勾股定理可計算出x的值，即可求出BD的長度，以PC為底，BD為高即可求出PBC的面積.

(1)①∵△ABC繞點B順時針旋轉了60°到△DBE，

∴BC=BE,∠CBE=60°，

∵在△BCE中,BC=BE,∠CBE=60°

∴△BCE是等邊三角形.

②∵△BCE是等邊三角形，

∴BC=CE,∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，

在Rt△DCE中,有DC2+CE2=DE2，

∵DE=AC，BC=CE，

∴DC2+BC2=AC2，

∴四邊形ABCD是勾股四邊形.

（2）②如圖，

∵由條件已知PC和PA，PA和BA,PC和BC無法組成勾股邊

∴若使四邊形PABC形成勾股四邊形

∴BC和BA應組成勾股邊

∴PB2=BC2+BA2=32

如圖過點B做PC延長線上的垂線，垂足為D

設CD為x,則BD2=16-x2

∵PB2=(PC+CD)2+BD2

∴32=(2+x)2+16-x2

解得x=3

∴BD=7

∴SPBC=2×7×=7

則PBC的面積為7.