Question

25、友情提示：本題有A、B兩題，請你任選一題作答，A題滿分9分，B題滿分12分．若兩題都做，只能按A題評分．
（A題）如圖所示，四邊形OABC與ODEF均為正方形，CF交OA于P，交DA于Q．
（1）求證：AD=CF．
（2）AD與CF垂直嗎？說說你的理由．
（3）當正方形ODEF繞O點在平面內旋轉時，（1），（2）的結論是否有變化（不需說明理由）．
（B題）如圖所示，用兩個全等的正方形ABCD和CDFE拼成一矩形ABEF，把一個足夠大的直角三角尺的直角頂點與這個矩形的邊AF的中點D重合，且將直角三角尺繞點D按逆時針方向旋轉．

（1）當直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE、EF相交于點G、H時，通過觀察或測量BG與EH的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論．
（2）當直角三角尺的兩直角邊分別與BE的延長線、EF的延長線相交于點G、H時，你在（1）中得到的結論還成立嗎？請畫出圖形并簡要說明理由．

Answer 1

分析：A：（1）可通過證明△AOD和△COF全等．
（2）要證AD⊥CF，就要證明∠APQ+∠OAD=90°，由（1）的全等三角形我們可知：∠OCF=∠OAD，而對頂角∠CPO=∠OAD，因此可得出：∠APQ+∠OAD=∠OCF+∠CPO=90°，也就是∠AQP=90°，那么垂直就證出來了．
（3）結論是不會改變的，因為不管怎么變化都要經過證明三角形AOD和COF全等來得出，而這兩個三角形的全等條件中，兩組對應邊都是正方形的邊長，不會改變，而這兩組對應邊的夾角都是90°加上或減去同一個角，因此也相等，由此可得出，這兩個三角形必然全等，（1）（2）的條件自然成立．
B：（1）要證BG=EH，關鍵是要證明CG=FH，也就是必須得出三角形CDG和FDH全等．
（2）同（1）的證法完全一樣．

解答：（A題）
（1）證明：∵四邊形OABC與ODEF均為正方形，
∴AO=CO，∠AOC=∠DOF=90°，OD=OF，
∴∠AOD=∠COF，
∴△AOD≌△COF，
∴AD=CF．
（2）AD⊥CF
理由為：∵△AOD≌△COF，
∴∠OCF=∠OAD，
∴∠APQ+∠OAD=∠OCF+∠CPO=90°，
∴∠AQP=90°，
即AD⊥CF．
（3）當正方形ODEF繞O點在平面內旋轉時，（1）（2）的結論不會發生變化．

（B題）
解：
（1）BG=EH，
∵四邊形ABCD和CDFE都是正方形，
∴DC=DF，∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°，
∵∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，
∴∠CDG=∠FDH，
∴△CDG≌△FDH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．

（2）結論BG=EH仍然成立．
同理可證△CDG≌△FDH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．

點評：本題主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定．通過全等三角形來得出簡單的線段相等是解此類題的常用方法．