Question

(1)對于任意給定的一個矩形C,是否存在另一個矩形,使它的周長和面積都是矩形C的2倍?請說明你理由。(3分)
(2)當實數m是什么值時,對于任何一個矩形C,都存在另一個矩形,它的周長與面積都是矩形C的m倍?證明你的結論。(7分)

Answer 1

（1）理由見解析(2) 當m≥1時,所有的矩形都有周長與面積都是已知矩形的m倍的矩形，證明見解析

（1）設已知矩形的長與寬分別為a,b,所求矩形為x,y.
則 ∴x,y是方程t²－2(a+b)t+2ab=0的兩根
∵⊿=4(a+b)²－8ab=4(a²+b²)＞0, ∴方程有解
∴對于長與寬分別為a,b矩形,存在周長與面積都是已知矩形的2倍的矩形。(3分)
(2)設已知矩形的長與寬分別為a,b,所求矩形為x,y.
則 ∴x,y是方程t²－m(a+b)t+mab=0的兩根
當⊿=m²(a+b)²－4mab＞0,即時,方程有解
∴對于長與寬分別為a,b矩形, 當時,存在周長與面積都是已知矩形的m倍的矩形     (7分)
∵(a－b)²≥0, ∴a²+b²≥2ab  ∴a²+b²+2ab≥4ab 即(a+b)²≥4ab,,
∴的最大值為1  (9分)
∴當m≥1時,所有的矩形都有周長與面積都是已知矩形的m倍的矩形。
本題考查了一元二次方程根的判別式的應用；（1）由題意可知：分別設出已知矩形和所求矩形的長與寬，再根據周長和面積的關系可以列出兩個關系式，觀察兩個關系式可得一個根為xy的一元二次方程，再根據判別式可以確定方程是否有解，進而確定所求矩形是否存在；（2）方法與（1）一樣．