Question

如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處．
（1）求證：△ABE≌△AGF；
（2）連接AC，若平行四邊形ABCD的面積為8，

EC

BC

=

2

3

，求AC•EF的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AB=CD，對(duì)角相等可得∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，再根翻折的性質(zhì)可得AG=CD，∠EAG=∠BCD，∠D=∠G，然后求出AB=AG，∠BAD=∠EAG，∠B=∠G，再求出∠BAE=∠GAF，然后利用“角邊角”證明即可；
（2）連接CF，根據(jù)翻折的性質(zhì)及全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EC=AE=AF，然后求出四邊形AECF是平行四邊形，再求出?AECF是菱形，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半可得AC•EF=2×菱形AECF的面積，再求出△AEC的面積，然后計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：在?ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，
∵?ABCD紙片沿EF折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，
∴AG=CD，∠EAG=∠BCD，∠D=∠G，
∴AB=AG，∠BAD=∠EAG，∠B=∠G，
∵∠BAD=∠BAE+∠EAF，∠EAG=∠GAF+∠EAF，
∴∠BAE=∠GAF，
在△ABE和△AGF中，

∠B=∠G AB=AG ∠BAE=∠GAF

，
∴△ABE≌△AGF（ASA）；

（2）解：連接CF，∵△ABE≌△AGF，
∴AE=AF，
根據(jù)翻折的性質(zhì)EC=AE，
∴EC=AE=AF，
又∵AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
根據(jù)翻折后點(diǎn)A、C重合，∴AC⊥EF，
∴?AECF是菱形，
∴AC•EF=2×菱形AECF的面積，
∵?ABCD的面積=8，

EC

BC

=

2

3

，
∴△AEC的面積=

1

2

×8×

2

3

=

8

3

，
∴菱形AECF的面積等于

16

3

，
∴AC•EF=2×菱形AECF的面積=

32

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（2）求出四邊形AECF是菱形并熟記菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．