Question

【題目】如圖，已知圓內接四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點N，點M在對角線BD上，且滿足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．

求證：（1）M為BD的中點；（2） .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）要證M為BD的中點，即證BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圓周角的性質易證明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘積形式，可證明BM=DM；

（2）欲證，可以通過平行線的性質證明，需要延長AM交圓于點P，連接CP，證明PC∥BD，得出比例式，相應解決MP=CM的問題即可．

試題解析：（1）根據同弧所對的圓周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA，

又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，

∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM，

∴△BAM∽△CBM，

∴ ，即BM2=AMCM ,①

又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，

∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，

∴△DAM∽△CDM，

則 ，即DM2=AMCM ,②

由式①、②得：BM=DM，

即M為BD的中點；

（2）如圖，延長AM交圓于點P，連接CP，

∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC，

∵PC∥BD，

∴, ③

又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，

∴∠ABC=∠MCP,

而∠ABC=∠APC，

則∠APC=∠MCP，

有MP=CM,④

由式③、④得： ．