Question

如圖，直角坐標系中，點A的坐標為（a，0），以線段OA為邊在第四象限內作等邊△AOB，點C為x正半軸上一動點（OC＞a＞0），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內作等邊△CBD，直線DA交y軸于點E．
（1）求證：OC=AD．
（2）隨著點C位置的變化，點E的位置是否會發生變化？若沒有變化，求出點E的坐標；若有變化，請說明理由．
（3）當C點運動到使OA：AC=1：3時，求出此時D點的坐標．

Answer 1

（1）證明：∵△AOB和△CBD是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
∵BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
OB=AB，∠OBC=∠ABD，BC=BD，
∴△OBC≌△ABD，
∴OC=AD．

（2）E點的位置不會發生變化，
∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2a，
∴OE=

3

a，
∴點E的位置不會發生變化，E的坐標為E（0，

3

a）；

（3）作DM⊥y軸，
∵∠MED=30°，OA=a，OA：AC=1：3，AE=2a，AD=OC，
∴ED=6a，
∴MD=3a，
∴EM=3

3

a，
∴OM=2

3

a，
∴D點的坐標為（3a，-2

3

a）．