Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．

（1）求證：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由EQ⊥BO，EH⊥AB得到∠EQN=∠BHM=90°，由∠EMQ=∠BMH得到△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得到△APB≌△HFE，故可得出結論；

（2）根據勾股定理求出BP的長，由EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再由銳角三角函數的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=，再由EQ=EF﹣QF即可得出結論．

試題解析：（1）∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°，∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM，在Rt△APB與Rt△HFE中，∵∠QEM=∠HBM，∠PAB=∠FHE，AB=EH，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；

（2）由勾股定理得，BP===4，∵EF是BP的垂直平分線，∴BQ=BP=，∴QF=BQtan∠FBQ=BQtan∠ABP==，由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=，∴EQ=EF﹣QF==．