Question

在平面直角坐標系中，已知三點A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c滿足關系式|a-2|+（b-3）²=0，c=2b-a；
（1）求a，b，c的值．
（2）如果在第二象限內有一點P（m，1），請用含m的式子表示四邊形ABOP的面積；若四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等，請求出點P的坐標；
附加題：
（3）若B，A兩點分別在x軸，y軸的正半軸上運動，設∠BAO的鄰補角的平分線和∠ABO的鄰補角的平分線相交于第一象限內一點Q，那么，點A，B在運動的過程中，∠AQB的大小是否會發生變化？若不發生變化，請求出其值，若發生變化，請說明理由．
（4）是否存在一點N（n，-1），使AN+NC距離最短？如果有，請求出該點坐標，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據非負數的性質求得a、b的值，再代入c=2b-a即可求出c的值；
（2）由于點P（m，1）在第二象限，所以四邊形ABOP的面積=△AOP的面積+△AOB的面積；先根據三角形的面積公式求出△ABC的面積，再由四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等列出關于m的方程，解方程求出m的值即可；
（3）根據角平分線的定義、三角形內角和定理及外角的性質求出∠AQB=45°，則∠AQB的大小不會發生變化；
（4）先作出點A關于直線y=-1的對稱點A′（0，-4），連接A′C，交直線y=-1于點N，則AN+NC距離最短，再運用待定系數法求出直線A′C的解析式，將y=-1代入，求出的x的值即為N得到橫坐標．

解答：解：（1）∵|a-2|+（b-3）²=0，
∴a-2=0，b-3=0，
解得a=2，b=3．
將a=2，b=3代入c=2b-a，得
c=2×3-2=4．
故a=2，b=3，c=4；

（2）如圖．如果在第二象限內有一點P（m，1），
那么四邊形ABOP的面積=△AOP的面積+△AOB的面積
=

1

2

×2×（-m）+

1

2

×3×2
=3-m；
∵△ABC的面積=

1

2

×4×3=6，
∴3-m=6，解得m=-3，
∴點P的坐標（-3，1）；

附加題：
（3）如圖．∠AQB的大小不會發生變化，理由如下：
∵∠BAO的鄰補角的平分線和∠ABO的鄰補角的平分線相交于第一象限內一點Q，
∴∠1=

1

2

∠DAB，∠2=

1

2

∠ABE，
∴∠AQB=180°-（∠1+∠2）
=180°-

1

2

（∠DAB+∠ABE）
=180°-

1

2

（90°+∠ABO+90°+∠BAO）
=180°-

1

2

（90°+90°+90°）
=45°．
∴∠AQB的大小不會發生變化；

（4）存在一點N（

9

8

，-1），使AN+NC距離最短．理由如下：
如圖，作出點A（0，2）關于直線y=-1的對稱點A′（0，-4），連接A′C，交直線y=-1于點N，則AN+NC距離最短．
設直線A′C的解析式為y=kx+t，
將點A′（0，-4），C（3，4）代入，
得

t=-4 3k+t=4

，
解得

k= 8 3 t=-4

，
所以直線A′C的解析式為y=

8

3

x-4，
當y=-1時，

8

3

x-4=-1，
解得x=

9

8

，
即點N的坐標為（

9

8

，-1）．
故存在一點N（

9

8

，-1），使AN+NC距離最短．

點評：本題考查了非負數的性質，三角形的面積，三角形內角和定理，三角形外角的性質，軸對稱-最短路線問題，運用待定系數法求函數的解析式，綜合性較強，難度適中．根據非負數的性質求出a、b的值及運用軸對稱的性質作出點N的位置是解題的關鍵．