Question

【題目】如圖AB∥CD，點H在CD上，點E、F在AB上，點G在AB、CD之間，連接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足為H，F(xiàn)G⊥HG，垂足為G.

（1）求證：∠EHC+∠GFE=180°.

（2）如圖2，HM平分∠CHG，交AB于點M，GK平分∠FGH，交HM于點K，求證：∠GHD=2∠EHM.

（3）如圖3，EP平分∠FEH，交HM于點N，交GK于點P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）20°

【解析】

（1）根據(jù)HG⊥HE，FG⊥HG可證明FG∥EH，從而得∠GFE+∠HEF=180°，再根據(jù)AB∥CD可得∠BEH=∠CHE,進而可得結(jié)論；

（2）設(shè)∠EHM=x，根據(jù)MH是∠CHG的平分線可得∠MHG=90°-x，∠EHC=90°-2x，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠HMB=90°-x，從而得∠HMB=∠MHG，再由平行線的性質(zhì)得∠BMH+∠DHM=180°，從而可得結(jié)論；

（3）分別延長FG，GK，交CD于R，交HE于S，由AB∥CD得∠HRG=50°，由FG⊥HG得∠GHR=40°，由MH平分∠CHG得∠CHE=50°，由AB∥CD得∠MEH=∠CHE=50°，可得∠SEP=25°，最后由三角形的外角可得結(jié)論.

（1）∵HG⊥HE，FG⊥HG

∴FG∥EH，

∴∠GFE+∠HEF=180°，

∵AB∥CD

∴∠BEH=∠CHE

∴∠EHC+∠GFE=180°

（2）設(shè)∠EHM=x，

∵HG⊥HE，

∴∠GHK=90°-x,

∵MH平分∠CHG，

∴∠EHC=90°-2x，

∵AB∥CD

∴∠HMB=90°-x，

∴∠HMB=∠MHG=90°-x，

∵AB∥CD，

∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°，

∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x，

∴∠GHD=2∠EHM；

（3）延長FG，GK，交CD于R，交HE于S，如圖，

∵AB∥CD，∠BFG=50°

∴∠HRG=50°

∵FG⊥HG，

∴∠GHR=40°，

∵HG⊥HE，

∴∠EHG=90°，

∴∠CHE=180°-90°-40°=50°，

∵AB∥CD,

∴∠FEH=∠CHE=50°，

∵EP是∠HEF的平分線，

∴∠SEP=∠FEH=25°，

∵GH平分∠HGF，

∴∠HGS=∠HGF=45°,

∴∠HSG=45°，

∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°，

∴∠EPS=20°，即 ∠NPK=20°.