Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點D在邊BC上，且BD=4，以點D為頂點作∠EDF=∠B，分別交邊AB于點E，交AC或延長線于點F．
（1）當AE=4時，求AF的長；
（2）當以邊AC為直徑的⊙O與線段DE相切時，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB，∠EDF=∠B，

∴∠FDC=∠DEB，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴△CDF∽△BED，

∴ ，即 ，

解得：CF= ，

∴AF=AC﹣CF=10﹣

（2）解：取邊AC中點O，作OG⊥DE于G，OQ⊥BC于Q，過點A作AH⊥BC于H，連接OD，如圖所示：

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴CH= BC=6，

∵⊙O和線段DE相切，

∴OG= AC=5，

在Rt△CAH中，∠AHC=90°，cosC= ，

在Rt△CQO中，∠CQO=90°

∵cosC= ，

∴CQ=COcosC=5× =3，

∴DQ=BC﹣BD﹣CQ=12﹣4﹣3=5，

∴OG=DQ，

在Rt△OGD與Rt△DQO中， ，

∴Rt△OGD≌Rt△DQO（HL），

∴∠GOD=∠QDO，

∴OG∥BC，

∴∠EDB=∠OGD=90°，

∴cosB= =cosC= ，

∴BE= ，

∴當以邊AC為直徑的⊙O與線段DE相切時，BE= ．

【解析】（1）先證△BDE∽△CFD，得出對應邊成比例，求出CF的長，即可得出結果；（2）取邊AC中點O，作OG⊥DE于G，OQ⊥BC于Q，過點A作AH⊥BC于H，連接OD，則CH= BC=6，由⊙O和線段DE相切，得出OG= AC=5，求出cosC= = ，CQ=COcosC=3，DQ=BC﹣BD﹣CQ=5，得出OG=DQ，由HL證得Rt△OGD≌Rt△DQO，得出∠GOD=∠QDO，OG∥BC，∠EDB=∠OGD=90°，由cosB= =cosC= ，即可得出結果．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的性質和切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．