Question

如圖，點E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）在拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸的同側 （點E在點F的左側），過點E、F分別作x軸的垂線，分別交x軸于點B、D，交直線y=2ax+b于點A、C，設S為直線AB、CD與x軸、直線y=2ax+b所圍成圖形的面積．則S與y₁、y₂的數量關系式為：S=

 

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Answer 1

分析：首先根據題意可求得：y₁，y₂的值，A與C的坐標，即可用x₁與x₂表示出AB，CD，BD的值，易得四邊形ABCD是直角梯形，即可得S=

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（AB+CD）•BD，然后代入其取值，整理變形，即可求得S與y₁、y₂的數量關系式．

解答：解：根據題意得：y₁=ax₁²+bx₁+c，y₂=ax₂²+bx₂+c，
點A的坐標為：（x₁，2ax₁+b），點C的坐標為：（x₂，2ax₂+b），
∴AB=2ax₁+b，CD=2ax₂+b，BD=x₂-x₁，
∵EB⊥BD，CD⊥BD，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是直角梯形，
∴S=

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2

（AB+CD）•BD=

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2

（2ax₁+b+2ax₂+b）（x₂-x₁）=a（x₂+x₁）（x₂-x₁）+b（x₂-x₁）=（ax₂²+bx₂）-（ax₁²+bx₁）=（ax₂²+bx₂+c）-（ax₁²+bx₁+c）=y₂-y₁．
∴S與y₁、y₂的數量關系式為：S=y₂-y₁．
故答案為：y₂-y₁．

點評：此題考查了二次函數與一次函數的綜合應用問題．此題難度較大，解題的關鍵是抓住點與函數的關系，注意根據整式的運算法則將原整式變形，注意數形結合思想的應用．