Question

如圖，已知E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點F．
（1）求證：△ABE≌△FCE．
（2）連接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形．

Answer 1

（1）、（2）證明見解析

證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC。∴∠ABE=∠ECF。
又∵E為BC的中點，∴BE=CE。
在△ABE和△FCE中，∵∠ABE=∠FCE，BE=CE，∠AEB=∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（ASA）。
（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF。
又AB∥CF，∴四邊形ABFC為平行四邊形。∴BE=EC，AE=EF。
又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC=∠ABC+∠EAB。
∴∠ABC=∠EAB，∴AE=BE。∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC。
∴四邊形ABFC為矩形。
（1）由ABCD為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行得到AB與DC平行，根據兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，由E為BC的中點，得到兩條線段相等，再由對應角相等，利用ASA可得出三角形ABE與三角形FCE全等。
（2）由△ABE≌△FCE，根據全等三角形的對應邊相等得到AB=CF；再由AB與CF平行，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABFC為平行四邊形，根據平行四邊形的對角線互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由∠AEC為三角形ABE的外角，利用外角的性質得到∠AEB等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角對等邊可得出AE=BE，可得出AF=BC，利用對角線相等的平行四邊形為矩形可得出ABFC為矩形。