Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+b與x軸、y軸相交于A、B兩點，動點C（m，0）在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上，過點D作DE⊥x軸于點E．

（1）求m和b的數量關系；

（2）當m＝1時，如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B′C′D′，當直線B′C′經過點D時，求點B′的坐標及△BCD平移的距離；

（3）在（2）的條件下，直線AB上是否存在一點P，以P、C、D為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，寫出滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=3m；（2）個單位長度；（3）P(0,3)或（2，2）

【解析】

（1）易證△BOC≌△CED，可得BO=CE=b，DE=OC=m，可得點D坐標，代入解析式可求m和b的數量關系；
（2）首先求出點D的坐標，再求出直線B′C′的解析式，求出點C′的坐標即可解決問題；
（3）分兩種情況討論，由等腰直角三角形的性質可求點P坐標．

解：（1）直線y＝﹣x+b中，x＝0時，y＝b，

所以，B（0，b），又C（m，0），

所以，OB＝b，OC＝m，

在和中

∴點

（2）∵m=1，

∴b=3，點C（1，0），點D（4，1）

∴直線AB解析式為：

設直線BC解析式為：y=ax+3，且過（1，0）

∴0=a+3

∴a=-3

∴直線BC的解析式為y=-3x+3，

設直線B′C′的解析式為y=-3x+c，把D（4，1）代入得到c=13，

∴直線B′C′的解析式為y=-3x+13，

當y=3時，

當y=0時，

∴△BCD平移的距離是個單位．
（3）當∠PCD=90°，PC=CD時，點P與點B重合，
∴點P（0，3）
如圖，當∠CPD=90°，PC=PD時，

∵BC=CD，∠BCD=90°，∠CPD=90°
∴BP=PD
∴點P是BD的中點，且點B（0，3），點D（4，1）
∴點P（2，2）
綜上所述，點P為（0，3）或（2，2）時，以P、C、D為頂點的三角形是等腰直角三角形．