Question

（2009•鹽都區二模）（1）如圖1，在△ABC中，繞點C旋轉180°后，得到△CA′B′．請先畫出變換后的圖形，寫出下列結論正確的序號是______．
①△ABC≌△A′B′C；
②線段AB繞C點旋轉180°后，得到線段A′B′；
③A′B′∥AB；
④C是線段BB′的中點．
在（1）的啟發下解答下面問題：
（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=120°，D是BC的中點，射線DF交BA于E，交CA的延長線于F，請猜想∠F等于多少度時，BE=CF？（直接寫出結果，不證明）
（3）如圖3，在△ABC中，如果∠BAC≠120°，而（2）中的其他條件不變，若BE=CF的結論仍然成立，那么∠BAC與∠F滿足什么數量關系（等式表示）并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過旋轉的性質可知①②③④正確；
（2）通過正確作圖，使BE=CF，然后進行測量即可進行猜想；
（3）通過旋轉的方法，作出輔助線，可利用三角形全等或旋轉的性質得到相等的線段，把關系轉化到一個三角形中即可得到需要的條件．
解答：解：
（1）根據旋轉的性質，知①②③④都是正確的．

（2）60°．

（3）等量關系：∠BAC=2∠F．
作△FCD關于點D的中心對稱三角形DBF′，則
∠F′=∠F，FC=BF′=BE，∠F′=∠F=∠BED=∠FEA．
∴∠BAC=2∠F．
點評：本題考查旋轉的性質和中心對稱的特點．
旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要注意中心對稱是旋轉的一種特殊情況．