Question

【題目】如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．
（1）求證：CM=CN；
（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由折疊的性質可得：∠ENM=∠DNM，

即∠ENM=∠ENA+∠ANM，

∠DNM=∠DNC+∠CNM，

∵∠ENA=∠DNC

∴∠ANM=∠CNM，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，

∴∠CMN=∠CNM，

∴CM=CN

（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，

則四邊形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC，

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，

∴ = = =3，

∴MC=3ND=3HC，

∴MH=2HC，

設DN=x，則HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，DC= =2 x，

∴HN=2 x，

在Rt△MNH中，MN= =2 x，

∴ = =2 ．

【解析】（1）由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案．