Question

李老師在與同學進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設計了以下三個問題，請你根據下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長．
（1）如圖1，正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C₁處；
（2）如圖2，圓錐的母線長為4cm，底面半徑r=

4

3

cm，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發，沿圓錐側面爬行一周回到點A．
（3）如圖3，是一個沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內表面對側中點B處的食物，已知盒高10cm，底面圓周長為32cm，A距下底面3cm．

Answer 1

分析：（1）根據正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C₁處，即展開正方體，螞蟻爬△ACC₁的對角線，求出即可．
（2）首先根據圓錐的底面周長等于展開圖的弧長，可求出圓錐側面展開圖中圓心角：n=∠AOA₁=120°，進而得出AA₁的長；
（3）作出點A關于CD的對稱點A'，可構造直角三角形或利用相似三角形等有關知識，進而得出求出BA'=20cm，即是所求．

解答：解：（1）AC1=

AC2+CC12

=

(5+5)2+52

=5

5

（2）解：由已知條件：圓錐的母線長為4cm，底面半徑r=

4

3

cm，
∴2×

4

3

π=

nπ×4

180

，
∴可求出圓錐側面展開圖中圓心角：n=∠AOA₁=120°，
∴∠AOC=60°，sin60°=

AC

AO

=

AC

4

，
∴進一步可求得最短的路程為AA₁=4

3

．


（3）如圖，作出點A關于CD的對稱點A'．
根據題意求出BF=CD=

1

2

×32=16，
可構造直角三角形或利用相似三角形等有關知識
求出BA'=20cm，
所以螞蟻吃到食物的爬行的最短路程為AE+BE=BA'=20cm

點評：此題主要考查了平面展開圖中最短路徑問題，這是中考中熱點問題，找出展開圖的與原圖形對應情況是解決問題的關鍵．