Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線頂點為E，根據題意OA=4，OC=3，得：E（2，3）。
設拋物線解析式為，
將A（4，0）坐標代入得：0=4a+3，即。
∴拋物線解析式為即。
（2）設直線AC解析式為（k≠0），
將A（4，0）與C（0，3）代入得：，解得：。
∴直線AC解析式為。
與拋物線解析式聯立得：，解得：或。
∴點D坐標為（1，）。
（3）存在，分兩種情況考慮：
①當點M在x軸上方時，如圖1所示：

四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM=AN，
由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，
∴N₁（2，0），N₂（6，0）。
②當點M在x軸下方時，如圖2所示：

過點D作DQ⊥x軸于點Q，過點M作MP⊥x軸于點P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=，NP=AQ=3。
將y_M=代入拋物線解析式得：
，
解得：x_M=或x_M=。
∴x_N=x_M－3=或，
∴N₃（，0），N₄（，0）。
綜上所述，滿足條件的點N有四個：
N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（，0），N₄（，0）。

解析試題分析：（1）由OA的長度確定出A的坐標，再利用對稱性得到頂點坐標，設出拋物線的頂點形式，將A的坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；。
（2）設直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，與拋物線解析式聯立即可求出D的坐標。
（3）存在，分兩種情況考慮：如圖所示，當四邊形ADMN為平行四邊形時，DM∥AN，DM=AN，由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根據OA+AN求出ON的長，即可確定出N的坐標；當四邊形ADM′N′為平行四邊形，可得△ADQ≌△NMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，將y=代入得：，求出x的值，確定出OP的長，由OP+PN求出ON的長即可確定出N坐標。