Question

如圖，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠A=30°，AB=8，F是OB的中點，連接DF并延長交⊙O于G，求弦DG的長．

Answer 1

（本題6分）
（1）證明：連接OD．
∵OA=OD，∴∠A=∠1．
∵BA=BC，∴∠A=∠C．
∴∠1=∠C．
∵DE⊥BC，垂足為E，
∴∠2+∠C=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠ODE=90°．
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線．（3分）

（2）解：連接BD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，AB=8，
∴DB=4，∠ABD=60°．（4分）
∵OD=OB，
∴△ODB是等邊三角形．
∵F是OB的中點，
∴DG⊥AB．
∴FD=FG．（5分）
在Rt△BDF中，∠ABD=60°．
∴DF=BD•sin60°=．
∴DG=．（6分）
分析：（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．
（2）連接BD，證得△ODB是等邊三角形后即可得到FD=FG，然后在Rt△BDF中選擇合理的邊角關系求得DF，進而求得DG的長即可．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．