Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和C（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x＝1，下列結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜8a；④；⑤b＜c．其中含所有正確結論的選項是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

解：①由拋物線開口向上，則a＞0

∵對稱軸為x=1

∴

∴可得b＜0，

∵拋物線與y軸的交點B在（0，﹣2）和C（0，﹣1）之間

∴-2＜c＜-1<0，

∴abc＞0，①是正確的；

②由點A(-1,0)和對稱軸直線x=1可知：

拋物線與x軸另一個交點為（3,0）

∴當x=2時，y=4a+2b+c＜0，因此②不正確，

③∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸的交點在（0，-1）的下方，對稱軸在y軸右側，a＞0，

∴最小值：

∴，因此③正確；

④∵圖象與x軸交于點A（-1，0）和（3，0），

∴ax2+bx+c=0的兩根為-1和3，

∴根據一元二次方程根于系數關系可得：，

∴c=-3a，

∴-2＜-3a＜-1，

∴＜a＜；故④正確；

⑤拋物線過（-1，0）

∴a-b+c=0，

即，b=a+c，

又∵a＞0，且

∴

∴

∴

又∵b<0，c<0

∴b＞c，因此⑤不正確；

故答案為：①③④