Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為F．

(1)求證：DF為⊙O的切線；

(2)若AE＝4，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4π－8

【解析】試題分析：（1）連接AD、OD，如圖，先利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則根據等腰三角形的性質得BD=CD，于是可判斷OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，則DF⊥OD，然后根據切線的判定定理可得DF是⊙O的切線；

（2）利用S陰影=S扇形AOE-S△AOE進而求出答案．

試題解析：(1)連接AD，OD.

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.

∵AB=AC ，

∴D是BC的中點.

∵O是AB的中點，

∴OD//AC.

∴∠ODF+∠DFA=180°

∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°.

∴∠ODF=90°. ∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切線.

(2)連接OE

∵∠ADB=∠ADC=90°，∠DFC=∠DFA=90°，

∴∠DAC=∠CDF=22.5°

∵AB=AC，D是BC中點，

∴∠BAC=2∠DAC=2×22.5°=45°.

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠BAC=45°.

∴∠AOE=90° .

∵AE=4,

∴OA=OE=4.

S陰影=S扇形AOE－S△AOE=4π－8.