Question

8．已知，如圖，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC．
（1）當∠AOC=90°，∠BOC=60°時，求∠MON的度數；
（2）當∠AOC=86°，∠BOC=60°時，求∠MON的度數；
（3）當∠AOC=80°，∠BOC=50°時，求∠MON的度數；
（4）猜想不論∠AOC和∠BOC的度數是多少，∠MON的度數總等于∠AOC度數的一半，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出∠AOB=∠AOC-∠BOC，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC；則得到∠NOB=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，那么∠MON=∠NOB+∠BOM；
（2）由OM平分∠AOB，求出∠AOM，再求出∠MOC，再由ON平分∠BOC求出∠NOC，從而求出∠MON；
（3）已知OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以可求出∠AOM，∠NOC，再求出∠MOC，從而求出∠MON；
（4）根據角平分線的定義可得出∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB、∠NOB=$\frac{1}{2}$∠BOC，再根據∠MON=∠BOM+∠NOB、∠AOC=∠AOB+∠BOC即可得出∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOC．

解答 解：（1）∵∠AOC=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOB=90°-60°=30°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°，
又∵ON平分∠BOC，
∴∠NOB=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴∠MON=∠NOB+∠BOM=30°+15°=45°；
（2）∵∠AOC=86°，∠BOC=60°，
∴∠AOB=86°-60°=26°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=13°，
又∵ON平分∠BOC，
∴∠NOB=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴∠MON=∠NOB+∠BOM=30°+13°=43°；
（3）∵∠AOC=80°，∠BOC=50°，
∴∠AOB=80°-50°=30°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°，
又∵ON平分∠BOC，
∴∠NOB=$\frac{1}{2}$∠BOC=25°，
∴∠MON=∠NOB+∠BOM=15°+25°=40°；
（4）∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOC，理由如下：
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠NOB=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠MON=∠BOM+∠NOB=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOC．
故答案為：∠AOC．

點評 本題考查了角的計算以及角平分線的定義，解題的關鍵是：（1）根據角平分線的定義算出∠BOM、∠NOB的度數；（2）根據角平分線的定義算出∠BOM、∠NOB的度數；（3）根據角平分線的定義算出∠BOM、∠NOB的度數；（4）根據角平分線的定義找出∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB、∠NOB=$\frac{1}{2}$∠BOC．