Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，MN過點O且與邊AD、BC分別交于點M和點N．

（1）請你判斷OM與ON的數量關系，并說明理由；
（2）過點D作DE∥AC交BC的延長線于E，當AB=5，AC=6時，求△BDE的周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AO=OC，

∴ = =1，

∴OM=ON

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AD=BC=AB=5，

∴BO= =4，

∴BD=2BO=8，

∵DE∥AC，AD∥CE，

∴四邊形ACED是平行四邊形，

∴DE=AC=6，

∴△BDE的周長是：

BD+DE+BE

=BD+AC+（BC+CE）

=8+6+（5+5）

=24

即△BDE的周長是24．

【解析】（1）根據菱形的性質，得到對邊平行對角線互相平分，得出比例，得到OM=ON；（2）根據菱形的性質，對角線互相垂直平分，再根據勾股定理求出BO的值，得到四邊形ACED是平行四邊形，求出△BDE的周長即可.
【考點精析】掌握菱形的性質是解答本題的根本，需要知道菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．