Question

（2011內蒙古赤峰，24，12分）如圖，直線y=x+3與坐標軸分別交于A、B兩點，拋物線經過點A、B，頂點為C，連結CB并延長交x軸于點E，點D與點B關于拋物線的對稱軸MN對稱。

（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；

（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵直線y=x+3與坐標軸分別交于A、B兩點。

當y=0時，x=－3，∴點A的坐標為（－3，0）

當x =0時，y= 3，∴點B的坐標為（0，3）

把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：

∴拋物線的解析式為

∵

∴C點的坐標為（-1，4）。

（2）證明：

方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;

∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.

在Rt△AOB中，；

在Rt△ANC中， ；

在Rt△CMB中，；

∴，∴∠ABC=90°

∵點D、B關于對稱軸CN對稱，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，則∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四邊形ABCD是直角梯形

方法（二）：設直線BC的解析式為y=mx+3；

把C（-1，4）代入，得m=－1；

∴直線BC的解析式為y=－x+3；

當y=0時，x=3，則E點的坐標為（3，0），即OE=3 ；

∵A（－3，0）、B（0，3）；

∴OA=OB=OE=3 。

∵∠BOA=∠BOE =90°

∴∠BAO=∠ABO=∠OEB =∠OBE=45°；

∴∠ABE=90°；

∴∠ABC=90°；

∵點D、B關于對稱軸CN對稱，∠BCM=45°；

∴∠DCM=45°，則∠DCB=90°；

∴DC∥AB ；

∵AD≠CB ；

∴四邊形ABCD是直角梯形

【解析】略