Question

【題目】如圖，若拋物線的頂點在拋物線上，拋物線的頂點也在拋物線上（點與點不重合），我們定義：這樣的兩條拋物，互為“友好”拋物線，可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有多條．

如圖，已知拋物線與軸交于點，試求出點關于該拋物線對稱軸對稱的點的坐標；

請求出以點為頂點的的友好拋物線的解析式，并指出與中同時隨增大而增大的自變量的取值范圍；

若拋物的任意一條友好拋物線的解析式為，請寫出與的關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）設x=0，求出y的值，即可得到C的坐標，把拋物線L3：y=2x2﹣8x+4配方即可得到拋物線的對稱軸，由此可求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標；

（2）由（1）可知點D的坐標為（4，4），再由條件以點D為頂點的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進而可求出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）根據拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，可以列出兩個方程，相加可得（a1+a2）（h﹣m）2=0．可得a1+a2=0．

（1）∵拋物線L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴頂點為（2，－4），對稱軸為x=2，設x=0，則y=4，∴C（0，4），∴點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標為：（4，4）；

（2）∵以點D（4，4）為頂點的L3的友好拋物線L4還過點（2，﹣4），∴L4的解析式為y=﹣2（x﹣4）2+4，由圖象可知，當2≤x≤4時，拋物線L3與L4中y同時隨x增大而增大；

（3）a1與a2的關系式為a1+a2=0．

理由如下：

∵拋物線y=a1 （x﹣m）2+n的一條“友好”拋物線的解析式為y=a2 （x﹣h）2+k，∴y=a2 （x﹣h）2+k過點（m，n），且y=a1 （x﹣m）2+n過點（h，k），即

k=a1 （h﹣m）2+n…①

n=a2 （m﹣h）2+k…②

由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0．

又“友好”拋物線的頂點不重合，∴h≠m，∴a1+a2=0．