Question

【題目】【閱讀發現】如圖①，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ABE和ADF，連結ED與FC交于點M，則圖中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC= ．

【拓展應用】如圖②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外側，作兩個等邊三角形ABE和ADF，連結ED與FC交于點M．

（1）求證：ED=FC．

（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度數．

Answer 1

【答案】90°；（1）證明見解析（2）100°

【解析】

試題分析：閱讀發現：只要證明∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，即可證明．

拓展應用：（1）欲證明ED=FC，只要證明△ADE≌△DFC即可．

（2）根據∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC即可計算．

試題解析：如圖①中，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=CD，∠ADC=90°，

∵△ADE≌△DFC，

∴DF=CD=AE=AD，

∵∠FDC=60°+90°=150°，

∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，

∴∠FDE=60°+15°=75°，

∴∠MFD+∠FDM=90°，

∴∠FMD=90°，

故答案為90°

（1）∵△ABE為等邊三角形，

∴∠EAB=60°，EA=AB．

∵△ADF為等邊三角形，

∴∠FDA=60°，AD=FD．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，DC=AB．

∴EA=DC．

∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°，

∴∠EAD=∠CDF．

在△EAD和△CDF中，

，

∴△EAD≌△CDF．

∴ED=FC；

（2）∵△EAD≌△CDF，

∴∠ADE=∠DFC=20°，

∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°．