Question

【題目】Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為_____．

Answer 1

【答案】4或2或．

【解析】

試題分情況討論，①以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC；②以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC．分別畫圖，并求出BD．

解：①以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC，

∵∠DAC=90°，且AD=AC，

∴BD=BA+AD=2+2=4；

②以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD，

連接BD，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于E．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，

∴∠DCE=45°，

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°，

∴∠CDE=45°，

∴CE=DE=2×=，

在Rt△BAC中，BC==2，

∴BD===2；

③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC，

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，

∴AD=DC=ACsin45°=2×=，

又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠BCD=90°，

又∵在Rt△ABC中，BC==2，

∴BD===．

故BD的長等于4或2或．