Question

設A是由2×4個整數組成的2行4列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”．

（1）數表A如表1所示，如果經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，請寫出每次“操作”后所得的數表；（寫出一種方法即可）

表1．

1	2	3	﹣7
﹣2	﹣1	0	1

（2）數表A如表2所示，若經過任意一次“操作”以后，便可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數a的值

表2．

a	a2﹣1	﹣a	﹣a2
2﹣a	1﹣a2	a﹣2	a2

 

Answer 1

【答案】

解：（1）根據題意得：

改變第4列改變第2行

（2）a=1

【解析】

分析：（1）根據某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變改行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”，先改變表1的第4列，再改變第2行即可；

（2）根據每一列所有數之和分別為2，0，﹣2，0，每一行所有數之和分別為﹣1，1，然后分別根據如果操作第三列或第一行，根據每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，列出不等式組，求出不等式組的解集，即可得出答案。

解：（1）根據題意得：

改變第4列改變第2行

（2）∵每一列所有數之和分別為2，0，﹣2，0，每一行所有數之和分別為﹣1，1，

∴①如果操作第三列，為：

a	a2﹣1	a	﹣a2
2﹣a	1﹣a2	2﹣a	a2

 則第一行之和為2a﹣1，第二行之和為5﹣2a，每一列之和為非負整數，

由解得：，

又∵a為整數，∴a=1或a=2。

②如果操作第一行，為：

﹣a	1﹣a2	a	a2
2﹣a	1﹣a2	a﹣2	a2

則每一列之和分別為2﹣2a，2﹣2a²，2a﹣2，2a²，每一行之和為非負整數，

由解得：a=1。

此時2﹣2a²=0，2a²=2，

綜上可知：a=1。