Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．

（1）請直接寫出A、B、C三點的坐標：

A B C

（2）點P從點A出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向點B運動，同時點Q 從點B出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．設運動的時間為t(秒)，

① 當t為何值時，BP＝BQ？

② 是否存在某一時刻t，使△BPQ是直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(2，0) ，B(4，0)， C(0， )；（2）t=；（3）t=或t=

【解析】試題分析：（1）由拋物線的解析式中的y=0可求出B，A點的坐標，x=0可求出C的坐標；

(2)①分別用含t的代數式表示BP和BQ,根據BP=BQ求解即可；

②根據余弦函數，可得關于t的方程，根據解方程，可得答案．

試題解析：（1）令y=0，則，解得：x1=-2，x2=4

∴A（-2,0），B（4,0）

令x=0，則x=-3，

∴C（0，-3）

（2）①∵A（-2,0），B（4,0）

∴AB=6

BP=6-3t，BQ=t

∵BP=BQ

∴6-3t =t

解得：t=

②如圖，

在Rt△OBC中，cos∠B=．

設運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．

∴PB=6-3t．

當∠PQB=90°時，cos∠B=，即，

化簡，得17t=24，解得t= ，

當∠BPQ=90°時，cos∠B=，

化簡，得19t=30，解得t=，

綜上所述：t=或t=時，以P，B，Q為頂點的三角形為直角三角形．